Анатолий Михайлович - актуально о математиках и математике.
На Научно-техническом форуме SciTecLibrary (ttp://www.sciteclibrary.ru) возникла идея обсудить одну из последних и остающуюся весьма злободневной статью выдающегося российского математика Владимира Игоревича Арнольда (1937–2010):
В.И.Арнольд. Что такое математика? 2-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2008. – 104 с.
Со своим (приводимым ниже) откликом на это предложение считаю целесообразным ознакомить участников Инновационного форума.
В указанной статье, как и в других, не менее обстоятельных и актуальных, публикациях В.И.Арнольда на близкие к данной темы, убедительно показывается важная роль математики в системе современного научного знания, в чём с автором можно безоговорочно согласиться.
Тем не менее, с позиции инженера, использующего математику как повседневный рабочий инструмент, не могу, по прочтении не только данной статьи, но и других работ автора, не высказать некоторые замечания, которые, возможно, запоздали, поскольку сам автор ответить на них уже не сможет, однако они «для пользы дела» ещё могли бы пригодиться ныне живущим математикам, и на этот счёт хорошо было бы получить ответ с их стороны.
В тексте конкретно данной статьи всерьёз «придраться», пожалуй, можно только к некорректной фразе (на странице 31) о «теории относительности (являющейся основой атомной бомбы)». Авторитетными физиками (прежде всего, зарубежными) этот миф уже давно опровергнут, ибо для проведения всех необходимых экспериментов и расчётов по атомной бомбе учёным оказалось достаточно знаний в пределах классической физики. Однако в политических целях этот миф, действительно, использовался и даже успешно «срабатывал» как за рубежом, так и в нашей стране. К примеру, в связи с замышлявшейся в 1948 году в руководящих кругах СССР «идеологической чисткой» в рядах физиков, по аналогии с уже проводимой в сельскохозяйственной науке, И.В.Курчатову приписывают заслугу в её предотвращении, поскольку он якобы заявил Берии: «не будет теории относительности – не будет и атомной бомбы», – о чём, естественно, было тут же сообщено Сталину с не заставившими себя ждать последствиями.
Осознанно ли В.И.Арнольд поддерживал этот миф? Ведь ему была хорошо известна подлинная история создания теории относительности, включая и тот факт (известный специалистам, но не широкой общественности), что настоящим автором этой теории является не Альберт Эйнштейн, а Анри Пуанкаре (смотри беседу В.И.Арнольда с ведущим телепередачи «Очевидное невероятное» С.П.Капицей от 26.12.2009: «Эйнштейн украл теорию относительности у Пуанкаре»).
Эйнштейн не сумел полностью позаимствовать у Пуанкаре необходимые и достаточные условия корректного применения новой теории, и поэтому его интерпретация теории относительности оказалась ущербной. Сам Пуанкаре об этом предупреждал близких ему учёных, но доводить дело до широкой огласки посчитал для себя неприемлемым. К тому же, Нобелевский комитет в 1912 году намеревался присудить премию за теорию относительности именно Пуанкаре, чему, однако, помешала его скоропостижная смерть. В присуждении же премии Эйнштейну Нобелевский комитет отказывал на протяжении 11 лет и только в 1921 году, под беспрецедентным внешним давлением, премию ему присудил, но не за теорию относительности.
Как-то Лев Ландау в частном разговоре признался, что в эйнштейновой теории относительности его больше всего восхищает то, что она никому не понятна, включая самогó автора. Именно такого эффекта он старался достичь и в своих лекциях по теоретической физике, читавшихся студентам, чьи конспекты затем расшифровывались, редактировались и издавались соавторами в виде отдельных (первоначально планировавшихся в количестве пяти, но в итоге составивших десять) томов учебного пособия по теоретической физике, которое до сих пор используется в учебном процессе высшей школы. С 2001 года это учебное пособие стереотипно переиздаётся с периодичностью в три года под грифом «Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей университетов».
Представляют интерес некоторые дополнительные сведения о первых двух томах данного учебного пособия. В первом томе под названием «Механика» реализована (изначально авантюрная, но этим и интересная для автора) идея Ландау изложить классическую механику в лагранжево-гамильтоновой трактовке. Как и следовало ожидать, попытка реализации этой идеи оказалась неудачной, о чём в 1940 году, сразу же после выхода книги из печати, академик В.Фок написал в своей разгромной рецензии, опубликованной в журнале «Успехи физических наук» (Фок В.А. Рецензия на книгу: Л. Ландау и Л. Пятигорский. Механика. (Теоретическая физика под общей редакцией проф. Л.Д.Ландау, т. I). Гостехиздат. Москва — Ленинград, 1940. – УФН, 1946 г., т. ХХVIII, вып.2-3).
Но в 1958 году, при очередном издании того же первого тома учебного пособия по теоретической физике с тем же названием «Механика», Ландау полностью проигнорировал критику рецензента, ограничившись лишь сменой соавтора (вместо Л.Пятигорского на титульном листе появилась фамилия Е.Лифшица, причём это не сопровождалось какими-либо словами благодарности в адрес прежнего соавтора, выполнившего ранее весь объём работ по подготовке книги к изданию).
О втором томе того же учебного пособия, носящем название «Теория поля», следует сказать, что название этого тома не соответствует его содержанию. Название, видимо, было призвано ввести в заблуждение чиновников Минобразования, давших в итоге разрешение на публикацию тома. А действительным содержанием этого тома стала («никому не понятная», но именно этим и столь «милая сердцу» Льва Ландау) эйнштейнова теории относительности.
Вышесказанного об этих двух томах учебного пособия Л.Ландау достаточно для того, чтобы составить чёткое представление о том, сколь откровенной чепухой наша высшая школа засоряла (и продолжает засорять!) мозги студентам уже на протяжении 80 лет!
Причина столь странного положения станет яснее, если вспомнить об учителе В.И.Арнольда – академике А.Н.Колмогорове, которому на протяжении долгих лет фактически было отдано идейное руководство математическим образованием в СССР.
Как ни удивительно, математик Колмогоров был принципиальным противником комплексных чисел и добился, в конце концов, их исключения из учебной программы средней школы. Он категорически не признавал и других алгебр с векторным делением.
В работах по истории математики (конкретно, в эссе для студентов и школьников: А.Н.Колмогоров. Математика. Исторический очерк. – М.: Анабасис, 2006. – 60 с., первое издание – 1954 г.) он характеризовал как объективно закономерную переориентацию на рубеже ХIХ-ХХ веков методологической основы точных наук в сторону векторной алгебры на тензорной основе.
В очерках по истории математики, приведя имена около четырёхсот выдающихся учёных, оставивших заметный след в развитии математики, Колмогоров находит место для развёрнутого описания мнимых математических заслуг Карла Маркса, дважды по разным поводам называет свою фамилию, однако ни словом не упоминает ни о кватернионах, ни об их создателе Уильяме Гамильтоне. А ведь А.Н.Колмогоров считался (и считал себя сам) ведущим специалистом в стране по гамильтоновым системам (подчиняющимся так называемому «принципу Гамильтона»). Имя последнего многократно встречается не только в текстах, но и в названиях научных публикаций А.Н.Колмогорова. Наконец, за работы по теории возмущений гамильтоновых систем А.Н.Колмогоров и В.И.Арнольд в 1965 году удостоились Ленинской премии (
http://www.pms.ru/3768.html).
Понятно, что Уильям Гамильтон как математик был хорошо известен А.Н.Колмогорову, однако он посчитал допустимым, по собственному субъективному усмотрению, «вычеркнуть» имя этого учёного из истории развития математики. Этим актом «научного волюнтаризма» он, прямо скажем, подал нехороший и, к сожалению, заразительный пример своим коллегам и ученикам.
Для перенявшего в конце 80-х годов прошлого века у А.Н.Колмогорова бразды руководства московской математической школой ректора московского университета В.А.Садовничего подобный «научный волюнтаризм» стал повседневной практикой. Возьмём в руки написанный им учебник (Садовничий В.А. Теория операторов. 5-е изд. Дрофа, 2004. 384 стр.), переизданный решением Учёного совета МГУ к очередному юбилею московского университета в серии «Классический университетский учебник».
С первых же страниц обнаруживаем, что автору глубоко безразличны те, кто будет читать его учебник: ведь он ни сам не потрудился и не поручил никому из помощников хотя бы выверить к нему предметный указатель! Ещё важнее то, что он грубо обманул своих читателей самим названием учебника, ибо вместо полноценной математической теории операторов в учебнике изложена лишь её простейшая векторно-тензорная версия. Не случайно в этом учебнике нет ни одного примера решения актуальной практической задачи на основе излагаемой в нём теории.
Откровенным неуважением к предшественникам, выдающимся учёным, на протяжении столетий разрабатывавшим математическую теорию операторов, выглядит полное отсутствие в учебнике каких-либо ссылок на их имена и работы.
Лично Садовничий как учёный, несмотря на полученное им сомнительным путём академическое звание, представляет собой «бесплодную смоковницу», пытаясь выдать за подлинное математическое творчество рутинную цифровизацию процесса стимулирования вестибулярного аппарата космонавтов. Видимо, уверившись, за три десятилетия пребывания на посту ректора МГУ (причём, последние два срока – уже не по итогам выборов, а по назначению президента страны), в полной бесконтрольности своей деятельности, он предпринимает в последнее время довольно опрометчивые (если не сказать авантюрные) шаги. Так, через возглавляемый им диссертационный совет МГУ он добивается присуждения дочери президента страны – гуманитарию по образованию – учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности «Теоретическая механика». Злоупотребляя доверием главы государства (согласившего занять по совместительству пост председателя попечительского совета МГУ), он убеждает его перечислить свои указом из резервного фонда благосостояния страны более 100 млрд. рублей на реализацию сомнительного проекта «Долина МГУ», возглавлять который номинально будет дочь президента страны (а реальных выгодополучателей от реализации этой аферы, видимо, в недалёком будущем придётся выявлять лучшим криминалистам нашей страны).
Однако, вернёмся к научным публикациям В.И.Арнольда. Не будучи профессиональным математиком, я процитирую по профилю более близкую мне работу, в которой автор с позиции математика описывает другую, но родственную ей, точную науку – механику (напомним в этой связи, что первым по списку факультетом МГУ и, видимо, важнейшим, по крайней мере, с позиции руководителя университета математика В.А.Садовничего, является механико-математический факультет!). Итак, вот эта книга:
В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, 3-е изд., Наука, М., 1989.
В книге три части (плюс существенно важные, с точки зрения математика, добавления):
Часть I. Ньютонова механика (сс. 11-51).
Часть II. Лагранжева механика (сс. 52-141).
Часть III. Гамильтонова механика (сс.142-265).
Добавления (сс.266-472).
В общем объёме книги (по количеству страниц) «удельный вес» Ньютоновой механики невелик, что, естественно, настораживает: неужели в практическом плане от неё уже так мало пользы?! Однако идём дальше.
В первой части, посвящённой Ньютонова механике, две главы:
Глава 1. Экспериментальные факты.
Глава 2. Исследование уравнений движения.
Приведём ключевые положения из преамбулы и первой главы первой части.
Сс. 11-12:
«Ньютонова механика изучает движение системы материальных точек в трёхмерном евклидовом пространстве… Ньютонова потенциальная механическая система задаётся массами точек и потенциальной энергией. Движениям пространства, оставляющим потенциальную энергию неизменной, соответствуют законы сохранения.
Уравнения Ньютона позволяют исследовать до конца ряд важных задач механики, например, задачу о движении в центральном поле.
В основе классической механики лежит ряд экспериментальных фактов. Перечислим некоторые из них.
А. Пространство и время. Наше пространство трёхмерно и евклидово, а время – одномерно.
Б. Принцип относительности Галилея. Существуют системы координат (называемые инерциальными), обладающие следующими двумя свойствами:
1) Все законы природы во все моменты времени одинаковы во всех инерциальных системах координат.
2) Все системы координат, движущиеся относительно инерциальной равномерно и прямолинейно, инерциальны.
В. Принцип детерминированности Ньютона. Начальное состояние механической системы (совокупность положений и скоростей точек системы в какой-нибудь момент времени) однозначно определяет всё её движение.
Мы не успеваем удивиться этому факту, так как узнаём его очень рано. Можно представить себе мир, в котором для определения будущего системы нужно в начальный момент знать также и ускорения. Опыт показывает, что наш мир не таков» (конец цитаты).
Теперь становится понятно, почему при таком подходе Ньютонова механика не заслуживает большого внимания. Совершенно не ясно, на каком основании автор ограничивает доступную область применения Ньютоновой механики «трёхмерным евклидовым пространством»? Разве мы не можем рассматривать действие законов механики Ньютона на комплексной плоскости или в векторном пространстве кватернионов?
Почему мы должны изначально ограничиваться рассмотрением только «ньютоновых потенциальных механических систем»? В Ньютоновой механике понятия (и явления) потенциала и потенциальности вторичны по отношению к исходному, первичному понятию (и явлению) силы. Силы доступны непосредственному измерению, ну а окажется ли механическая система потенциальной или непотенциальной, может выясниться только после обработки экспериментальных данных и соответствующих расчётов. Зачем же этот второстепенный, вторичный вопрос возводить в ранг исходного постулата?
Как видим, исследователь сам, по своей воле заведомо отказывается от рассмотрения механических систем любой сложности, однако вместо честного признания субъективной ограниченности своих представлений и целевых установок, пытается перенести собственную интеллектуальную немощь на имеющийся в его распоряжении научный инструментарий, каковым в данном случае готова служить Ньютонова механика (однако, только «в хороших руках и при разумной голове»!).
Изложенные автором условия и возможности применения Ньютоновой механики никуда не годятся. Ведь инерциальные системы – это чистейшая абстракция, которая в реальной природе не наблюдается. В своём первом законе механики Ньютон использует эту абстракцию всего лишь в качестве отправной точки для дальнейшего анализа. В этой отправной точке предполагается полное отсутствие любых сил, чего в природе не бывает. И в этой же отправной точке рождается абстрактное понятие «покоя или равномерного прямолинейного движения».
Далее, усложняя ситуацию введением в рассмотрение сил, зависящих от второй производной от координаты по времени (сил инерции), мы получаем второй закон механики. Наконец, при наличии сил произвольной природы и с любыми видами зависимостей мы приходим к ситуации баланса сил действия и противодействия по третьему закону Ньютона.
Как ни парадоксально, но автор «умудряется» изложить Ньютонову механику, не прибегая ни к одному из трёх законов механики Ньютона!
Если всерьёз принять те условия и ограничения, в которых, по мнению автора, только и может действовать Ньютонова механика, то придётся согласиться с тем, что она имеет право претендовать лишь на то, чтобы называться частным случаем (или «бледной тенью») собственной лагранжево-гамильтоновой трактовки. Именно это и утверждает автор на с.52:
«Ньютонова потенциальная система – частный случай лагранжевой (конфигурационное пространство в этом случае евклидово, а функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциальной энергий)» (конец цитаты).
Естественно, за такую Ньютонову механику нам становится «обидно до слёз», и принять такую её концепцию мы категорически отказываемся!
А за нанесённую нам, механикам, обиду мы, со своей стороны, предъявим свой счёт автору уже как профессиональному математику. Продолжим цитирование его книги.
Сс. 12-16:
«А. Обозначения. R означает множество всех вещественных чисел. Через Rⁿ обозначается n-мерное вещественное линейное пространство…
В. Движение, скорость, ускорение. Движением в Rⁿ называется дифференцируемое отображение х: I → Rⁿ интервала I вещественной оси в Rⁿ.
Вектором скорости в точке t₀ € I называется производная
х'(t₀)=dx/dt|(t=t₀) = Lim(h→0)[x(t₀+h)–x(t₀)]/h € Rⁿ.
Вектором ускорения в точке t₀ называется вторая производная
х"(t₀)=d²x/dt²|(t=t₀)…
Г. Уравнение Ньютона. Согласно принципу детерминированности Ньютона всё движение системы однозначно определяется её начальным положением (х(t₀) € Rⁿ) и начальными скоростями (х'(t₀) € Rⁿ).
В частности, начальное положение и скорости определяют ускорение. Иными словами, существует функция F: Rⁿ × Rⁿ × R → Rⁿ такая, что
х"= F (х, х', t). (1)
Уравнение (1) положено Ньютоном в основу механики. Оно называется уравнением Ньютона» (конец цитаты).
Автор, не показывая этого явно, по умолчанию применяет в трёхмерном евклидовом пространстве тензорный аппарат частного дифференцирования. Но как он намерен выбирать ту или иную систему координат и по какому пути будет осуществлять предельные переходы при многомерном дифференцировании? Так просто обойти «проклятье многомерности» автору не удастся. Но эту проблему он без всяких объяснений просто игнорирует.
Наконец, налицо математический нонсенс: представление второй производной от координаты по времени в виде функциональной зависимости от координаты, первой производной от координаты по времени, а также и от времени!? Представьте себе разложение функции в ряд Тейлора, в котором член разложения, содержащий вторую производную, заменяется на некую комбинацию из других членов разложения, причём эта математическая абракадабра возводится в ранг некоего закона механики и обзывается «уравнением Ньютона». Где вы нашли это в работах Ньютона? Худшего оскорбления памяти создателя дифференциального исчисления, пожалуй, не придумать!
Подведём общий итог вышесказанному.
Давно уже с российских учёных снят тот «идеологический пресс», которым они оправдывали свой конформизм и заискивание перед властями, однако научные публикации прошлых лет со следами некогда проявленной учёными беспринципности продолжают перепечатываться без каких-либо корректировок или комментариев (конкретный пример – переиздание работы академика А.Н.Колмогорова его учеником В.А.Успенским).
И общий риторический вопрос: когда же в руководстве российской академической и вузовской наукой появятся честные и порядочные учёные, способные заняться самоочищением науки от накопившегося в ней «хлама»? К сожалению, таковых на отечественном научном горизонте пока не видно. Может быть, они появятся после начинающихся в нашей стране политических перемен?
